Le calcul de sommes finies est un classique en début de MathSup.
On se familiarise avec le symbole «sigma» : \Sigma .
\sum_{k=1}^{n}a_{k} signifie a_{1}+a_{2}+ … +a_{n-1}+a_{n} .
Une chose importante à comprendre est que le k est un indice de sommation, un outils de calcul à l’intérieur de la somme.
Le remplacer par i, j ou l ne change rien à la somme : \sum_{i=1}^{n}a_{i} signifie exactement la même chose.
Ce n’est par contre pas le cas de n qui, lui, est un paramètre constitutif de la somme.
\sum_{k=1}^{m}a_{k} signifie a_{1}+a_{2}+ … +a_{m-1}+a_{m} . Si m et n n’ont pas la même valeur, les résultats des deux sommes seront en général différents.
Une chose importante à bien maitriser : les changements d’indices
Par exemple : S=\sum_{i=3}^{n+3}a_{i-2} signifie S=a_{3-2}+a_{4-2}+…+a_{n+3-2} , soit S=a_{1}+a_{2}+…+a_{n+1} et donc S=\sum_{j=1}^{n+1}a_{j} que l’on peut tout aussi bien écrire S=\sum_{i=1}^{n+1}a_{i} .
Passer de la première écriture à cette dernière s’appelle faire un changement d’indice dans la somme S.
Tu le retrouveras souvent dans les exercices ci-dessous.
Autre articles niveau MathSup :
Dans cet article :
(1) Somme des entiers, des carrés des cubes
Le calcul de la somme des n premiers entiers est vu assez tôt (au moment des suites arithmétiques au lycée) et fait l’objet d’une anecdote concernant l’immense mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777-Göttingen 1855).
Quand il était tout enfant, son instituteur avait donné à la classe le calcul de la somme des 100 premiers entiers. Il pensait ainsi être tranquille pendant un moment, mais à peine une minute plus tard, le jeune Gauss lui apporte son ardoise avec la bonne réponse.
Si tu connais la formule, tu peux donner la réponse, même de tête, en quelques secondes toi aussi : ça vaut …
Après la somme des entiers, il est logique de vouloir aller un cran plus loin et se demander s’il y a une formule pour la somme des carrés, puis la somme des cubes, et pourquoi pas la somme des puissances quatrièmes…
Et si oui, comment les obtenir ?
On utilise pour cela les sommes télescopiques et la formule du binôme de Newton : \left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}
Tu peux voir cela dans la vidéo n°20 :
(2) La somme des carrés alternés
La somme : -1+2-3+4-5… n’est pas très compliquée ni très intéressante.
Tout de même, peux-tu la calculer la jusqu’à +20, puis jusqu’à -21… ?
Par contre la somme des carrés alternés (-1²+2²-3²+4²… c’est à dire \sum_{k=1}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\times k^{2} ) est l’occasion d’un joli calcul.
Tu peux le voir dans la vidéo n°11 :
(3) Sommes finies se ramenant au binôme de Newton
La formule du binôme de Newton : \left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k} est la source de nombreux calculs de sommes finies en MathSup tels ces deux-là :
- \sum_{k=1}^{n} \left(-2\right)^{k}\times\binom{n}{k}
- et :
- \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}\times\ 2^{n-2k}
Tu peux essayer de calculer ces sommes et/ou voir le corrigé dans la vidéo n°12 :
(4) Calculs de sommes finies par apparition-disparition
Souvent, on voudrait voir apparaitre dans un calcul un nombre ou un terme qui n’y est pas, et il arrive que l’on puisse l’y mettre à condition de le faire disparaitre sans que cela change la valeur de l’expression calculée.
C’est le cas dans ces deux calculs de somme niveau MathSup :
- \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}
- et :
- \sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{k}
Tu peux voir la simplification de ces deux expressions dans la vidéo n°13 :
(5) Sommes de coefficients binomiaux
Les coefficients binomiaux font souvent l’objet d’exercices de calculs de sommes.
Voici deux exemples de formules à prouver sur lesquelles tu pourrais bien tomber pendant une colle de sup ou dans un devoir :
- Prouver que : \sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}
- et :
- Prouver que : \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{p} ^{2} = \binom{2n}{n}
C’est l’objet de la vidéo n° 14 :
