Exemple de calcul de la somme d'une série entière en passant par les nombres complexes
Dans cet article, je te propose de jeter un œil à deux séries entières, dont la nature (réelle ou complexe) implique d’utiliser deux versions différentes des formules d’Euler pour en calculer la somme.
Niveau mathématique : deuxième année (math spé, licence 2-3).
Toutes mes vidéos sur :
Je te propose de considérer ici les deux séries entières :
- \sum_{n\geq 0}^{}\frac{sin(n)}{n!}\: x^{n}\; \; \left ( x\in \mathbb{R} \right )
- \sum_{n\geq 0}^{}sin(n\theta )\; z^{n}\; \; \left ( \theta \in ]0\: ;\: \pi [\; ,\; z\in \mathbb{C} \right )
La première est une série entière réelle \left(x\in\mathbb{R}\right) et la seconde une série entière complexe \left(z\in\mathbb{C}\right) .
On calcule assez facilement leurs rayons de convergence, qui valent respectivement 1 et plus l’infini (tu trouveras le détail dans les deux vidéos associées à l’article, ci-dessous).
À l’intérieur des ensembles de convergence (l’ensemble des réels pour la première, et le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 pour la seconde), on va ensuite vouloir exprimer la somme de la série à l’aide de fonctions usuelles.
Et là, le fait que la variable soit réelle ou complexe va substantiellement changer la méthode pour y parvenir.
Voyons cela…
La méthode pour la première série entière
Notons S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{sin(n)}{n!}\: x^{n}\; \; \left ( x\in \mathbb{R} \right )
L’idée est ici de se dire : si le sinus n’était pas là, qu’est-ce que ce serait ?
\sum_{n= 0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}\; \; =…\;\;??
Oui, ce serait la somme de la série exponentielle !!
Mais alors, comment faire quand le sinus est là ?
L’idée est de transformer le sinus en une puissance n en utilisant la formule déduite de la formule d’Euler :
sin(n) = Im\left(e^{in}\right) = Im\left((e^{i})^{n}\right)
On passe donc par les nombres complexes pour calculer S(x).
On obtient :
\sum_{n\geq 0}^{}\frac{x^{n}}{n!}\times Im\left ( e^{i} \right )^{n}\;
et on remarque que si z est complexe et k est réel, alors :
(F) : Im\left(k\times z\right)=k \times Im\left(z\right)
et comme \frac{x^{n}}{n!}\in\mathbb{R} , on obtient :
S\left ( x \right )= \lim_{N \to +\infty }\sum_{n=0}^{N}Im\left (\frac{(xe^{i})^{n}}{n!}\right )
La partie imaginaire d’une somme (finie) est la somme des parties imaginaires :
S\left ( x \right )=\lim_{N \to +\infty }Im\left (\sum_{n=0}^{N}\frac{(xe^{i})^{n}}{n!}\right )\;
et si une suite complexe converge, la partie imaginaire de sa limite est la limite de la suite des parties imaginaires :
S\left ( x \right )= Im\left (\lim_{N \to +\infty }\sum_{n=0}^{N}\frac{(xe^{i})^{n}}{n!}\right )\; =\; Im\left (\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{(xe^{i})^{n}}{n!}\right )
et donc S(x) est la partie imaginaire d’une série exponentielle complexe :
S\left ( x \right )=Im\left ( exp\left ( x\: e^{i} \right ) \right )
Il reste alors à écrire le nombre complexe exp\left ( x\: e^{i} \right ) sous forme algébrique pour pouvoir prendre sa partie imaginaire et obtenir le résultat :
S\left ( x \right )=e^{cos(1)\: x}\times sin\left ( sin(1)\: x \right )
Si tu veux voir cela en détail, regarde ma vidéo n°61 ci-dessous :
La méthode pour la seconde série entière
Notons T(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\sin(n\theta)\; z^{n}\; \; \left (z\in\mathbb{C}\;\; et \;\; |z|<1 \right ) .
L’idée est de nouveau de se dire : si le sinus n’était pas là, qu’est-ce que ce serait ?
\sum_{n= 0}^{+\infty} z^{n}\; \; =…\;\;??
Cette fois, c’est la somme d’une série géométrique .
La série converge quand |z|<1 , ce qui est le cas ici, et :
\sum_{n= 0}^{+\infty} z^{n}\; =\; \frac{1}{1-z}
Mais ici, on ne va pas pouvoir procéder comme précédemment, est-ce que tu vois pourquoi ?
On peut bien entendu transformer le sinus comme tout à l’heure : sin(n\theta ) = Im\left(e^{in\theta }\right) = Im\left((e^{i\theta })^{n}\right)
Ce qui bloque, c’est que cette fois,
z^{n}\in\mathbb{C} , et la formule (F) est fausse.
Si z et k sont complexes, alors ; Im\left(k\times z\right) \neq k \times Im\left(z\right)
En effet :
Im\left ( (k_{1}+ik_{2})\times (z_{1}+iz_{2}) \right )=k_{2}z_{1}+k_{1}z_{2}et
(k_{1}+ik_{2})\times Im(z_{1}+iz_{2}) =k_{1}z_{2}+ik_{2}z_{2}Il faut donc s’y prendre autrement.
On va utiliser la formule d’Euler sous une autre forme :
sin\left ( n\theta \right )=\frac{e^{in\theta }-e^{-in\theta }}{2i}=\frac{(e^{i\theta })^{n}-(e^{-i\theta })^{n}}{2i}
On obtient donc : si z\in\mathbb{C}\;\; et \;\; |z|<1 .
T\left ( z\right )=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(e^{i\theta })^{n}-(e^{-i\theta })^{n}}{2i}\; z^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(e^{i\theta}z)^{n}-(e^{-i\theta}z)^{n}}{2i}
Chacune des deux séries de terme général
(e^{i\theta}z)^{n}\; \; et\; \; (e^{-i\theta}z)^{n} sont des séries géométriques dont la raison est de module inférieur à 1, donc elle sont convergentes.
On peut couper la série en deux :
T\left ( z \right )=\frac{1}{2i}\; \left (\sum_{n=0}^{+\infty} (e^{i\theta}z)^{n}- \sum_{n=0}^{+\infty} (e^{-i\theta}z)^{n}\right)
T\left (z \right )=\frac{1}{2i}\; \left ( \frac{1}{1-e^{i\theta }z} – \frac{1}{1-e^{-i\theta }z}\right)
Il ne reste plus qu’à simplifier ce nombre complexe pour obtenir le résultat :
T\left ( z \right )= \frac{sin(\theta )\times z}{z^{2}-2cos(\theta )\: z+1}
Si tu veux voir cela en détail, regarde ma vidéo n°63 ci-dessous :
C’est la fin de cet article.
Merci de ta lecture !! Je te laisse avec mes formules mathématiques préférées…
Quelles sont les tiennes ?
