Exercices de probabilités, variables aléatoires.
Cet article répertorie les exercices que j’ai traités en vidéo sur ma chaine YouTube « Académie Exponentielle » autour des probabilités et en particulier des variables aléatoires.
Bien qu’au cours de mes études, j’ai trouvais ce chapitre un des plus simples, les probabilités sont souvent un thème difficile pour les étudiants.
J’ai l’occasion de le constater lors des colles que je donne en classes préparatoires.
Si tu veux t’entrainer ou t’informer sur le sujet, je te propose une série d’exercices que tu peux chercher et/ou regarder leur correction en vidéo.
Si tu es partant, allons-y !!
Autre articles niveau MathSup :
Dans cet article :
(1) La loi du maximum de deux variables suivant une loi uniforme
On suppose qu’on a deux variables aléatoires X et Y suivant une loi uniforme sur {1, 2, 3, …, n}.
On peut obtenir cela par exemple en faisant deux tirages successifs avec remise d’une boule dans une urnes en contenant n, numérotées de 1 à n.
X est le numéro de la première boule tirée et Y le numéro de la seconde.
On note Z=max(X,Y), et on veut déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance.
C’est ce que tu peux chercher, avant de regarder la correction dans la vidéo n°38 :
Article rédigé jusque là pour le moment.
Je travaille à le compléter !!
(2) À venir...
Il arrive souvent en mathématiques qu’il y ait plusieurs chemins distincts pour arriver au résultat.
Je reprends ici le calcul d’intégrale précédent :
\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) e^{4x} \text{d}xavec deux nouvelles approches :
- Une double intégration par parties permettant d’obtenir I en fonction de I, et de calculer I en résolvant l’équation.
- Un passage par les nombres complexes en écrivant que \sin(2x)=\text{I}m\left(e^{2ix}\right) .
On obtient le même résultat, bien sûr, même si cela m’émerveille toujours un peu !!
Tu peux voir cela dans la vidéo n°16 :
(3) À venir...
On ajoute un cran de difficulté au calcul précédent avec un x :
- \int_{0}^{\pi}x sin(x) e^{x}\:\text {d}x
- et
- \int_{0}^{\pi}x cos(x) e^{x}\:\text {d}x
Nous faisons ce calcul d’intégrale par deux méthodes :
- l’intégration par parties
- et :
- le passage par les nombres complexes en utilisant la formule d’Euler : e^{ix}\:=\:cos(x)+isin(x) .
Pour voir d’abord les techniques de calculs, c’est dans la vidéo n°17 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{\pi/2}x sin(2x) e^{x/2}\:\text {d}x .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°17.
(4) À venir...
Tu connais la formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) .
C’est elle qu’on utilise dans cette vidéo avec deux calculs d’intégrales de niveau MathSup :
- \int_{1}^{3}\frac{\text{d}t}{\sqrt{t}+\sqrt{t^3}} , avec un changement de variable.
- et :
- \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+3}\:\text{d}x . Dans ce cas, il faut savoir faire disparaitre le x^{2} du numérateur transformer le 3 en 1 pour se raccorder à notre formule de primitive…
Pour voir ces deux calculs, c’est dans la vidéo n°18 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{12}\frac{3x}{x^{4}+4}\:\text{d}x .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°18.
(5) À venir...
Ici, on utilise toujours la même formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) , mais en un peu plus technique pour s’y ramener.
- Nous calculons d’abord l’intégrale \int_{5}^{13}\frac{\text{d}t}{(3+t)\sqrt{t-1}} , avec un changement de variable.
- Puis nous entamons un périple dans les intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , avec le calcul de l’intégrale \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}+2x+5} . Il s’agit de factoriser comme il faut le polynôme du second degré.
C’est à voir dans la vidéo n° 19 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{4} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}-4x+6} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°19.
(6) À venir...
Nous continuons notre exploration des intégrales des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} .
- Nous revoyons un cas avec \Delta \lt 0 , avec une factorisation un poil plus difficile : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-2x+1} .
- Ensuite, nous voyons quoi faire quand \Delta \gt 0 (avec les deux racines qui sont extérieures au segment d’intégration) : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{-8x^{2}+6x+5}
Peut-être as-tu envie de me demander ce qui se passe si une des racines (ou les deux) appartient au segment d’intégration \left[a,b\right] : dans ce cas la fonction n’est pas continue sur \left[a,b\right] et l’intégrale n’est pas convergente…
À voir pendant l’année de Math Spé.
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 21 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}+8x+3} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°21.
(7) À venir...
Encore un calcul d’intégrale des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , plus une deuxième que j’aime bien en bonus, mais qui n’a rien à voir…
- Nous commençons par le cas qui nous manquait : \Delta = 0 , avec une factorisation classique de fonction du second degré : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-12x+9} .
- En complément, une intégrale qui parait compliquée à première vue, mais qui ne l’est finalement pas : \int_{0}^{\pi} \: \frac{sin(x)}{10-6cos(x)}\:\text{d}x .
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 22 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{9x^{2}+6x+1} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°22.
(8) À venir...
Tu connais la dérivée de la fonction arcsinus : Arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} . Nous voyons ici comment utiliser cette formule pour le calcul d’intégrales.
- Nous commençons par revoir la justification de la formule de la dérivée de la fonction arcsinus.
- Puis nous calculons une intégrale pouvant se raccrocher à cette formule : \int_{0}^{\sqrt{3}/4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-4x^{2}}} .
C’est l’objet de la vidéo n° 24 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{0,3} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-25x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°24.
(9) À venir...
Sur le même modèle, nous voyons un cas où la factorisation est un poil plus difficile, quand le terme en x n’est pas nul. On procède alors à une factorisation qui ressemble à une mise sous forme canonique de l’expression du second degré sous la racine.
Nous calculons à cet effet l’intégrale : \int_{0}^{1+\sqrt{2}} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3+2x-x^{2}}} .
C’est à voir dans la vidéo n° 26 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0,5}^{3,5} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{7+12x-4x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°26.
(10) À venir...
Dans les calculs des deux paragraphes précédents nous avons calculé des intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{\sqrt{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c}} , où a est un nombre réel négatif.
Ce n’est pas un hasard : cela vient de la formule de dérivation de la fonction arcsinus où le x² a un coefficient –1.
Que faire quand ce coefficient est positif ? Il faudrait une fonction dont la dérivée soit \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} .
Cette fonction existe est correspond à l’inverse de la fonction sh (sinus hyperbolique). On la note Argsh, ce qui se lit « argument sh ». C’est une fonction que l’on n’étudie plus dans la plupart des filières de prépa. Mais vous pouvez tout de même tomber dessu, car on peut l’exprimer à l’aide de la fonction ln.
- Nous commençons par calculer la dérivée de la fonction x\longmapsto \ln\left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right) .
- Puis nous utilisons cette formule sur un exemple de calcul d’intégrale :
\int_{1}^{4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{4x^{2}-8x+13}} .
C’est ce que tu trouveras dans la vidéo n° 28 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{x^{2}+2x+5}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°28.
