Calculs de Limites de Suites et de Fonctions : je lance aujourd’hui (18 février 2023) une nouvelle série de vidéos sur ce thème et conséquemment ce nouvel article qui va se charger de les rassembler et les répertorier…
Quand on pense calculs de limites, on pense souvent développement limité.
C’est un outil important.
Il y a aussi la propriété des sommes de Riemann, les limites simples sans forme indéterminée, ou celles dont on lève l’indétermination avec une croissance comparée ou un équivalent.
Ces calculs de limites peuvent toucher des suites, des fonctions, des sommes, des intégrales.
Si tu veux t’entrainer à calculer des limites essaie de résoudre un ou plusieurs exercices de cet article, avant éventuellement de regarder la vidéo de correction !!
Autre articles niveau MathSup :
Dans cet article :
(1) Limite de suite avec une somme de Riemann
Quand une suite comporte une somme ou un produit dont la valeur des termes dépend de l’indice n, alors il faut regarder s’il n’y aurait pas une somme de Riemann là-dessous…
Ici, c’est une belle limite que j’ai trouvée dans un de mes livres cette semaine. Le lien avec les sommes de Riemann n’est pas évident à priori, et il y a un peu de travail à faire pour s’y ramener.
On souhaite donc calculer la limite : \lim_{n \to +\infty} \; n^{-4}\prod_{k=1}^{2n} \left( k^{2}+n^{2} \right)^{1/n}
Si ça te dis, essaie de chercher cette limite, avant de regarder ma solution dans la vidéo n°32 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \lim_{n \to +\infty} \: \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{k^{2}+n^{2}} \right) .
On utilise la même méthode, mais la transformation initiale de la suite est beaucoup plus simple.
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°32.
(2) Calcul d'une limite de fonction en multipliant par la quantité conjuguée.
On souhaite calculer ici la limite : \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{4x^{2}+2x+1}-2x+3\right) .
Il y a une forme indéterminée de la forme \left(+\infty\right)-\left(+\infty\right) que l’on voudrait lever en faisant disparaitre la racine carrée, pour pouvoir comparer les deux termes, qui sont équivalents à 2x .
Pour cela, on utilise la multiplication par la quantité conjuguée.
On obtient ensuite le résultat via une factorisation et une simplification…
Tu peux voir cela dans la vidéo n°34 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice similaire : \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( 3x-1-\sqrt{9x^{2}-x+3} \right) .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°34.
(3) Calcul de limite en utilisant le nombre dérivé
Soit \alpha >0 . On veut calculer la limite suivante :
- \displaystyle \lim_{x \to \alpha}\; \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x^{n}-\alpha^{n}}
On peut faire ce calcul simplement en faisant apparaitre des nombres dérivés.
Rappel : \displaystyle \: \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)
Pour voir la correction de ce calcul, c’est dans la vidéo n°36 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \displaystyle \lim_{x \to 0} \; \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°36.
Article rédigé jusque là pour le moment.
Je travaille à le compléter !!
Ce qui suit est un modèle venant de mon article : Intégrales de fonctions continues sur un segment.
(4) À venir...
Tu connais la formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) .
C’est elle qu’on utilise dans cette vidéo avec deux calculs d’intégrales de niveau MathSup :
- \int_{1}^{3}\frac{\text{d}t}{\sqrt{t}+\sqrt{t^3}} , avec un changement de variable.
- et :
- \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+3}\:\text{d}x . Dans ce cas, il faut savoir faire disparaitre le x^{2} du numérateur transformer le 3 en 1 pour se raccorder à notre formule de primitive…
Pour voir ces deux calculs, c’est dans la vidéo n°18 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{12}\frac{3x}{x^{4}+4}\:\text{d}x .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°18.
(5) À venir...
Ici, on utilise toujours la même formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) , mais en un peu plus technique pour s’y ramener.
- Nous calculons d’abord l’intégrale \int_{5}^{13}\frac{\text{d}t}{(3+t)\sqrt{t-1}} , avec un changement de variable.
- Puis nous entamons un périple dans les intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , avec le calcul de l’intégrale \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}+2x+5} . Il s’agit de factoriser comme il faut le polynôme du second degré.
C’est à voir dans la vidéo n° 19 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{4} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}-4x+6} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°19.
(6) À venir...
Nous continuons notre exploration des intégrales des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} .
- Nous revoyons un cas avec \Delta \lt 0 , avec une factorisation un poil plus difficile : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-2x+1} .
- Ensuite, nous voyons quoi faire quand \Delta \gt 0 (avec les deux racines qui sont extérieures au segment d’intégration) : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{-8x^{2}+6x+5}
Peut-être as-tu envie de me demander ce qui se passe si une des racines (ou les deux) appartient au segment d’intégration \left[a,b\right] : dans ce cas la fonction n’est pas continue sur \left[a,b\right] et l’intégrale n’est pas convergente…
À voir pendant l’année de Math Spé.
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 21 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}+8x+3} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°21.
(7) À venir...
Encore un calcul d’intégrale des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , plus une deuxième que j’aime bien en bonus, mais qui n’a rien à voir…
- Nous commençons par le cas qui nous manquait : \Delta = 0 , avec une factorisation classique de fonction du second degré : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-12x+9} .
- En complément, une intégrale qui parait compliquée à première vue, mais qui ne l’est finalement pas : \int_{0}^{\pi} \: \frac{sin(x)}{10-6cos(x)}\:\text{d}x .
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 22 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{9x^{2}+6x+1} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°22.
(8) À venir...
Tu connais la dérivée de la fonction arcsinus : Arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} . Nous voyons ici comment utiliser cette formule pour le calcul d’intégrales.
- Nous commençons par revoir la justification de la formule de la dérivée de la fonction arcsinus.
- Puis nous calculons une intégrale pouvant se raccrocher à cette formule : \int_{0}^{\sqrt{3}/4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-4x^{2}}} .
C’est l’objet de la vidéo n° 24 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{0,3} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-25x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°24.
(9) À venir...
Sur le même modèle, nous voyons un cas où la factorisation est un poil plus difficile, quand le terme en x n’est pas nul. On procède alors à une factorisation qui ressemble à une mise sous forme canonique de l’expression du second degré sous la racine.
Nous calculons à cet effet l’intégrale : \int_{0}^{1+\sqrt{2}} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3+2x-x^{2}}} .
C’est à voir dans la vidéo n° 26 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0,5}^{3,5} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{7+12x-4x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°26.
(10) À venir...
Dans les calculs des deux paragraphes précédents nous avons calculé des intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{\sqrt{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c}} , où a est un nombre réel négatif.
Ce n’est pas un hasard : cela vient de la formule de dérivation de la fonction arcsinus où le x² a un coefficient –1.
Que faire quand ce coefficient est positif ? Il faudrait une fonction dont la dérivée soit \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} .
Cette fonction existe est correspond à l’inverse de la fonction sh (sinus hyperbolique). On la note Argsh, ce qui se lit « argument sh ». C’est une fonction que l’on n’étudie plus dans la plupart des filières de prépa. Mais vous pouvez tout de même tomber dessu, car on peut l’exprimer à l’aide de la fonction ln.
- Nous commençons par calculer la dérivée de la fonction x\longmapsto \ln\left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right) .
- Puis nous utilisons cette formule sur un exemple de calcul d’intégrale :
\int_{1}^{4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{4x^{2}-8x+13}} .
C’est ce que tu trouveras dans la vidéo n° 28 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{x^{2}+2x+5}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°28.
