Le calcul d’intégrale est un de mes sujets mathématiques favoris !!
Raison pour laquelle j’ai rapidement traité une première série de dix vidéos sur ce sujet qui me plait. Ce sont ces dix premières vidéos que je te présente dans cet article.
Au niveau MathSup, on intègre des fonctions continues sur un segment.
Les intégrales généralisées (niveau spé) feront l’objet d’un autre article.
Les deux outils principaux pour la résolutions pratique de calculs -hormis bien sûr les techniques de primitivation d’une fonction– sont l’intégration par parties et le changement de variables.
En plus, il est bon de connaitre un certain nombre de schémas de fonctions types, pour éviter de perdre trop de temps quand on tombe dessus.
Ce sont quelques uns de ces schémas que je te propose de découvrir dans ce premier article sur le sujet.
Autre articles niveau MathSup :
Dans cet article :
(1) Primitives des fonctions trigos × exponentielle
Dans cette vidéo, je te montre comment primitiver les fonctions de la forme :
- x\rightarrow\cos(ax)\times e^{bx}
- et
- x\rightarrow\sin(ax)\times e^{bx}
où a et b sont deux nombres réels non nuls.
J’en profite pour calculer l’intégrale : \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) e^{4x} \text{d}x
C’est à voir dans la vidéo n°15 :
(2) Le même calcul d'intégrale en sin × exp avec deux autres méthodes
Il arrive souvent en mathématiques qu’il y ait plusieurs chemins distincts pour arriver au résultat.
Je reprends ici le calcul d’intégrale précédent :
\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) e^{4x} \text{d}xavec deux nouvelles approches :
- Une double intégration par parties permettant d’obtenir I en fonction de I, et de calculer I en résolvant l’équation.
- Un passage par les nombres complexes en écrivant que \sin(2x)=\text{I}m\left(e^{2ix}\right) .
On obtient le même résultat, bien sûr, même si cela m’émerveille toujours un peu !!
Tu peux voir cela dans la vidéo n°16 :
(3) Intégration d'une fonction en x × sin × exp
On ajoute un cran de difficulté au calcul précédent avec un x :
- \int_{0}^{\pi}x sin(x) e^{x}\:\text {d}x
- et
- \int_{0}^{\pi}x cos(x) e^{x}\:\text {d}x
Nous faisons ce calcul d’intégrale par deux méthodes :
- l’intégration par parties
- et :
- le passage par les nombres complexes en utilisant la formule d’Euler : e^{ix}\:=\:cos(x)+isin(x) .
Pour voir d’abord les techniques de calculs, c’est dans la vidéo n°17 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{\pi/2}x sin(2x) e^{x/2}\:\text {d}x .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°17.
(4) Calcul d'intégrale se terminant en arctangente
Tu connais la formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) .
C’est elle qu’on utilise dans cette vidéo avec deux calculs d’intégrales de niveau MathSup :
- \int_{1}^{3}\frac{\text{d}t}{\sqrt{t}+\sqrt{t^3}} , avec un changement de variable.
- et :
- \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+3}\:\text{d}x . Dans ce cas, il faut savoir faire disparaitre le x^{2} du numérateur transformer le 3 en 1 pour se raccorder à notre formule de primitive…
Pour voir ces deux calculs, c’est dans la vidéo n°18 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{12}\frac{3x}{x^{4}+4}\:\text{d}x .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°18.
(5) Encore de l'arctangente, mais plus technique...
Ici, on utilise toujours la même formule de primitive : \int_{}^{}\frac{1}{1+x^{2}} \: \text{d}x\:=\:Arctan(x) , mais en un peu plus technique pour s’y ramener.
- Nous calculons d’abord l’intégrale \int_{5}^{13}\frac{\text{d}t}{(3+t)\sqrt{t-1}} , avec un changement de variable.
- Puis nous entamons un périple dans les intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , avec le calcul de l’intégrale \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}+2x+5} . Il s’agit de factoriser comme il faut le polynôme du second degré.
C’est à voir dans la vidéo n° 19 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{4} \: \frac{\text{d}x}{x^{2}-4x+6} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°19.
(6) Calcul d'intégrale en 1/ax²+bx+c
Nous continuons notre exploration des intégrales des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} .
- Nous revoyons un cas avec \Delta \lt 0 , avec une factorisation un poil plus difficile : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-2x+1} .
- Ensuite, nous voyons quoi faire quand \Delta \gt 0 (avec les deux racines qui sont extérieures au segment d’intégration) : \int_{0}^{1} \: \frac{\text{d}x}{-8x^{2}+6x+5}
Peut-être as-tu envie de me demander ce qui se passe si une des racines (ou les deux) appartient au segment d’intégration \left[a,b\right] : dans ce cas la fonction n’est pas continue sur \left[a,b\right] et l’intégrale n’est pas convergente…
À voir pendant l’année de Math Spé.
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 21 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}+8x+3} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°21.
(7) Calcul d'intégrale en 1/ax²+bx+c (suite)
Encore un calcul d’intégrale des fonctions de la forme : x\longmapsto \frac{1}{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c} , plus une deuxième que j’aime bien en bonus, mais qui n’a rien à voir…
- Nous commençons par le cas qui nous manquait : \Delta = 0 , avec une factorisation classique de fonction du second degré : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{4x^{2}-12x+9} .
- En complément, une intégrale qui parait compliquée à première vue, mais qui ne l’est finalement pas : \int_{0}^{\pi} \: \frac{sin(x)}{10-6cos(x)}\:\text{d}x .
Ces deux calculs sont à voir dans la vidéo n° 22 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{3} \: \frac{\text{d}x}{9x^{2}+6x+1} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°22.
(8) Dérivée de Arcsin et utilisation pour intégrer
Tu connais la dérivée de la fonction arcsinus : Arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} . Nous voyons ici comment utiliser cette formule pour le calcul d’intégrales.
- Nous commençons par revoir la justification de la formule de la dérivée de la fonction arcsinus.
- Puis nous calculons une intégrale pouvant se raccrocher à cette formule : \int_{0}^{\sqrt{3}/4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-4x^{2}}} .
C’est l’objet de la vidéo n° 24 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0}^{0,3} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3-25x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°24.
(9) Nouveau calcul d'intégrale qui s'intègre en arcsin
Sur le même modèle, nous voyons un cas où la factorisation est un poil plus difficile, quand le terme en x n’est pas nul. On procède alors à une factorisation qui ressemble à une mise sous forme canonique de l’expression du second degré sous la racine.
Nous calculons à cet effet l’intégrale : \int_{0}^{1+\sqrt{2}} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{3+2x-x^{2}}} .
C’est à voir dans la vidéo n° 26 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{0,5}^{3,5} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{7+12x-4x^{2}}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°26.
(10) Que se passe-t-il quand le coefficient du x² sous la racine est positif ?
Dans les calculs des deux paragraphes précédents nous avons calculé des intégrales de fonctions de la forme x\longmapsto \frac{1}{\sqrt{ax^{2} \ + \ bx \ + \ c}} , où a est un nombre réel négatif.
Ce n’est pas un hasard : cela vient de la formule de dérivation de la fonction arcsinus où le x² a un coefficient –1.
Que faire quand ce coefficient est positif ? Il faudrait une fonction dont la dérivée soit \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} .
Cette fonction existe est correspond à l’inverse de la fonction sh (sinus hyperbolique). On la note Argsh, ce qui se lit « argument sh ». C’est une fonction que l’on n’étudie plus dans la plupart des filières de prépa. Mais vous pouvez tout de même tomber dessu, car on peut l’exprimer à l’aide de la fonction ln.
- Nous commençons par calculer la dérivée de la fonction x\longmapsto \ln\left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right) .
- Puis nous utilisons cette formule sur un exemple de calcul d’intégrale :
\int_{1}^{4} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{4x^{2}-8x+13}} .
C’est ce que tu trouveras dans la vidéo n° 28 :
À la fin de la vidéo, je te propose de t’entrainer sur l’exercice : \int_{-1}^{1} \: \frac{\text{d}x}{\sqrt{x^{2}+2x+5}} .
Si tu souhaites télécharger gratuitement le corrigé de cet exercice, clique ici : PDF n°28.
